9 сентября 2026 г.

Вывод уравнения Блэка-Шоулза через дельта-хеджирование

Трейдерский вывод: уравнение БШ как баланс между прибылью от гамма-хеджирования и тета-распадом.

На этой странице

Линия цены

Начнем с того, как устроена линия цены и что происходит над $K$ .

Если цена двигается вправо, то она как бы движется в нашу пользу, тк у нас есть возможность потенциально сделать деньги и это делает стоимость опциона положительной. То как проседает линия, это то как дешевеет право - временной распад цены опциона (тета), в будущем вернемся к этому. Распад съедает временную стоимость и кривая ложится на ломаную.

С другой стороны это удешевление компенсируется тем, сколько мы можем заработать на этом опционе.

Итого можно примерно понять динамику того, как устроена цена.

Колл, K = 100. Ломаная - выплата на экспирации, кривая - цена за год до неё (σ = 20%, r = 0), пунктир - касательная в K.

Дельта-хедж: убираем линейность

Если мы сидим на уровне $K$ , то мы можем потенциально потерять денег, акция может уйти влево.

Звучит как линейная зависимость, а раз она такая, то от нее можно избавиться.

Для этого возьмем точку на кривой прямо над страйком.

Тут можно видеть, что цена поднимается под некоторым углом, тангенс которого в этой точке эквивалентен некоторому кол-ву акций. PnL этих акций будет выглядеть в точности как касательная опущенная уровня ломаной кривой. Соответственно чтобы эту зависимость убрать, мы продаем это кол-во акций, тем самым полностью выкидывая линейную составляющую.

P&L после продажи дельты в K: симметричный остаток над нулём (не касается оси).

Тета: парабола опускается

Что может быть с этой параболой, со временем она будет опускаться вниз, потому что право дешевеет.

Актив, который мы продали (касательная выше) называется хедж.

Та же парабола после временного распада: около K ниже нуля, по краям снова прибыль.

Если цена останется в $K$ , то хедж ничего полезного не сделает, а временную стоимость мы всю потеряем (то насколько ниже нуля часть параболы). Однако, если цена акции ходит влево или вправо, то зарабатываем мы на этом не линейно, а квадратично.

Перехеджирование

Пусть цена сначала ушла вправо, мы заработали денег, но в этот момент у нас также изменилась чувствительность к направлению, тангенс стал ненулевым. Хедж, который мы запродали, больше ничего нам не компенсирует, соответственно надо еще продать хедж, чтобы убрать линейную составляющую. В случае, если происходит движение обратное, то мы делаем ровно такое же действие, только в другом направлении.

Итого на колебание вправо и возвращение назад что произойдет: мы продадим акции дорого, затем купим их дешево.

Считаем P&L

Итого, что получается, как мы считаем PnL нашего портфеля.

Кол-во допроданных акций при увеличении их цены - это то, насколько меняется тангенс кривой цены опциона. Еще раз, сам тангенс эквивалентен некоторому кол-ву акций, его изменение - это то, на чем мы зарабатываем. Изменение тангенса (вторая производная цены опциона по цене акции, она же гамма), помноженное на изменение цены - это то, сколько мы запродали акций:

\text{допродано акций} = \Gamma \cdot dS

Прибыль = (кол-во акций) × (разница цен), и обе величины пропорциональны $dS$ :

\text{Прибыль} = \underbrace{(\Gamma \cdot dS)}_{\text{кол-во}} \times \underbrace{dS}_{\text{цена движения}} = \Gamma (dS)^2

Но чтобы правильно посчитать заработок, нужно еще поделить на 2. Нужно это для того, что лишние акции появляются не сразу, а нарастают линейно по мере движения цены: в начале их 0, в конце $\Gamma\cdot dS$ . Значит, весь путь $dS$ мы держали не максимальное количество, а в среднем половину. Среднее линейной функции равно $(\text{начало} + \text{конец}) / 2 = \tfrac{1}{2}\Gamma\cdot dS$ . Умножаем на путь $dS$ и получаем:

\text{P\&L} = \tfrac{1}{2}\Gamma\,(dS)^2 = \tfrac{1}{2}\frac{\partial^2 C}{\partial S^2}\,(dS)^2

Волатильность и уравнение БШ

Чтобы измерять движения в процентных, а не абсолютных величинах, сделаем замену

dS = \sigma S

Множитель $\sigma$ - это коэффициент изменчивости, волатильность, показывает как меняется цена в единицу времени.

Итого получаем, подставляем это в формулу:

\text{P\&L} = \tfrac{1}{2}\frac{\partial^2 C}{\partial S^2}\,(\sigma S)^2 = \tfrac{1}{2}\sigma^2 S^2\frac{\partial^2 C}{\partial S^2}

Затем приравняем это к тому, что мы теряем со временем, получится уравнение баланса: сдвиг параболы вниз компенсируется тем, сколько мы зарабатываем на торговле акциями.

Запишем все в одной стороне, справа нуль:

\frac{\partial C}{\partial t} + \tfrac{1}{2}\sigma^2 S^2\frac{\partial^2 C}{\partial S^2} = 0

Получаем уравнение Блэка-Шоулза.

Это уравнение справедливо в любой момент времени и в любой точке пространства.

Причем в выводе не было затронуто никакой статистики с распределениями, марковости процесса и тд.

Полное уравнение

В реальности есть еще процентные ставки, дивиденды и тд. Тогда продажа актива стоила бы денег. При продаже актива платятся дивиденды, их надо взять. При продаже актива деньги класть под интерес $R$ . Итого несколько членов в уравнении.

Полное уравнение БШ:

\frac{\partial C}{\partial t} + \tfrac{1}{2}\sigma^2 S^2\frac{\partial^2 C}{\partial S^2} - R C + (R - d)\,S\frac{\partial C}{\partial S} = 0

Итог

В торговле опционами нет ничего, кроме того, как умирает торговая книга с течением времени и то, насколько эта книга нелинейна.