8 сентября 2026 г.

Формула цены и плотность Бридена-Литценбергера

От цены колла как интеграла выплаты к риск-нейтральной плотности через опционную бабочку.

На этой странице

Колл и пут

Вспомним графики опционов на экспирации. Страйк $K = 100$ .

Колл после страйка растёт вместе с акцией. Пут растёт, когда акция падает ниже страйка. Это зеркальные ломаные.

Колл и пут на экспирации, K = 100.

Бабочка

Чтобы вывести формулу Бридена-Литценбергера, нужна опционная бабочка: покупка и продажа коллов с разными страйками.

Бабочка собирается так: купить колл со страйком $K - dK$ , продать два колла со страйком $K$ , купить колл со страйком $K + dK$ . На графике $dK = 20$ : шатёр от 80 до 120, в страйке выплата 20.

Бабочка на экспирации, K = 100, dK = 20.

Плотность

Функция плотности - это функция, с которой интегрируют функцию выплат, чтобы получить цену опциона в момент времени $t$ .

Выплата сама от времени не зависит: для колла это всегда $\max(S - K, 0)$ . Плотность задаёт веса возможных цен в экспирацию. Произведение интегрируют, и выходит цена контракта в момент $t$ . Для этого момента плотность берётся от цены $S_t$ до экспирации.

C(S_t, t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, P(x, T \mid S_t, t)\, dx

Здесь $f(x)$ - выплата, если в экспирацию цена равна $x$ . $P(x, T \mid S_t, t)$ - плотность: вес этого $x$ при условии, что в момент $t$ акция стоит $S_t$ .

Дальше из этих выплат выводится формула плотности. Для колла выплата $(S_T - K)$ ненулевая только выше страйка:

C(S_0, T) = \int_{K}^{\infty} (S_T - K) \cdot f(S_T) \, dS_T

Цена бабочки

Цена бабочки - разность трёх коллов:

C_{t}^{bf} = C_{t}(K-dK) - 2C_{t}(K)+ C_{t}(K + dK)

Нормировка на dK

Нормируем на $dK$ :

\frac{C_{t}^{bf}}{dK} = \frac{C_{t}(k-dK) - 2C_{t}(K)+ C_{t}(K + dK)}{dK} \approx dK\frac{\partial^2C_{t}(K)}{\partial K^2}

Приближённо это вторая производная цены по страйку, умноженная на $dK$ .

Подстановка выплаты

Перепишем выражение, подставив в интеграл выплату, не цену. В знаменателе один $dK$ :

\begin{aligned} \frac{C_{t}^{bf}}{dK} &= \int_{K-dK}^{K+dK} \frac{(S-(K-dK))^{+} - 2(S-K)^{+} + (S-(K+dK))^{+}}{dK} \cdot P(S,T|S_0, 0)\, dS \approx \\ &\approx P(K,T|S_0, 0)dK \end{aligned}

Откуда берётся множитель dK

Разберём, как получилось последнее соотношение. Дисконтирование не учитываем: цена бабочки - это интеграл её выплаты по плотности.

C_{t}^{bf} = \int_{0}^{\infty} g(S)\, P(S, T \mid S_0, 0)\, dS.

Ниже разберём, как отсюда получается $\dfrac{C_{t}^{bf}}{dK} \approx P(K, T \mid S_0, 0)\, dK$ .

Площадь шатра

Интеграл выплаты без плотности - это площадь под графиком. У треугольника площадь равна половине произведения основания на высоту:

\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot dK \cdot dK = dK^2

g(S) = (S-K+dK)^+ - 2(S-K)^+ + (S-K-dK)^+

g(S) = \begin{cases} 0, & S \le K-dK \\ S-K+dK, & K-dK \le S \le K \\ dK - (S-K), & K \le S \le K+dK \\ 0, & S \ge K+dK \end{cases}

Треугольник (“шатёр”) с пиком $g(K) = dK$ в точке $S=K$
Носитель: $[K-dK,\ K+dK]$
Площадь: $\displaystyle\int_0^\infty g(S)\, dS = dK^2$

Теорема о среднем

Если $f$ непрерывна на $[a, b]$ , то найдётся точка $c \in [a, b]$ , для которой

\int_a^b f(x)\, dx = f(c)\,(b - a).

Интеграл равен значению функции в одной точке, умноженному на длину отрезка. $f(c)$ и есть среднее значение $f$ на $[a, b]$ .

Если рядом стоит неотрицательный вес $g$ , теорема звучит так: найдётся $c \in [a, b]$ , для которой

\int_a^b f(x)\, g(x)\, dx = f(c) \int_a^b g(x)\, dx.

При $g = 1$ это то же самое утверждение. Интеграл произведения равен значению $f$ в одной точке, умноженному на суммарный вес $\int g$ .

На примере

Шатёр $g$ занимает весь отрезок $[K - dK, K + dK]$ , поэтому под интегралом плотность во многих точках. $P$ непрерывна и $g \ge 0$ , значит по теореме о среднем с весом найдётся точка $\xi$ внутри шатра, $\xi \in [K - dK, K + dK]$ :

C_{t}^{bf} = P(\xi, T \mid S_0, 0) \int_0^\infty g(S)\, dS = P(\xi, T \mid S_0, 0)\, dK^2.

Площадь $\int g = dK^2$ уже посчитана. Делим на $dK$ :

\frac{C_{t}^{bf}}{dK} = P(\xi, T \mid S_0, 0)\, dK.

Справа плотность в некоторой точке шатра, умноженная на $dK$ . Страйк $K$ появится, когда шатёр сожмётся.

На графике $K = 100$ , $dK = 20$ . Шатёр стоит на $[80, 120]$ , площадь $20^2 = 400$ . Цена такой бабочки равна $400 \cdot P(\xi)$ , и $\xi$ лежит между $80$ и $120$ . Деление цены на $dK = 20$ даёт $20 \cdot P(\xi)$ .

Теорема не указывает, где именно лежит $\xi$ . Положение $\xi$ зависит от $P$ . Точки, где высота самого шатра равна средней $dK/2$ , лежат на $K \pm dK/2$ . Это точки функции $g$ .

Чтобы получить плотность в страйке, шатёр сужают. Любая точка отрезка $[K - dK, K + dK]$ удалена от $K$ не больше чем на $dK$ , поэтому при $dK \to 0$ получается $\xi \to K$ и $P(\xi) \to P(K)$ .

Делить удобнее сразу на площадь:

\frac{C_{t}^{bf}}{dK^2} = \frac{C_{t}(K - dK) - 2C_{t}(K) + C_{t}(K + dK)}{dK^2} = P(\xi, T \mid S_0, 0).

В пределе $dK \to 0$ вторая разность становится второй производной:

P(K, T \mid S_0, 0) = \frac{\partial^2 C_t}{\partial K^2}.

Итого: формула плотности

P(K,T\mid S_0,0) = \frac{\partial^2 C_t}{\partial K^2}

Смысл: риск-нейтральная плотность цены базового актива в точке $K$ равна второй производной цены колла по страйку, взятой в этой же точке $K$ .

Как получили:

Записали $C(K)$ через интеграл выплаты по плотности $P$ .
Разложили функцию выплат бабочки. Вторая разность $C(K-dK)-2C(K)+C(K+dK)$ равна интегралу этой треугольной выплаты $g(S)$ по плотности $P(S)$ .
По теореме о среднем этот интеграл $= P(\xi,T)\cdot dK^2$ , где $\xi\to K$ при $dK\to0$ .
Делим на $dK^2$ , устремляем $dK\to0$ → получаем именно значение плотности в точке $K$ .

Практический смысл: имея на рынке цены коллов по непрерывному спектру страйков, можно восстановить всю риск-нейтральную плотность будущей цены актива. Для этого берётся вторая производная цены опциона по страйку, а на практике вторая разность.